What is a Hilbert space in math?

[Editör]

What is a Hilbert space in math?​

In mathematics, a Hilbert space is an inner product space that is complete with respect to the norm defined by the inner product.

How do you model a vibrating string in Hilbert space?​

The state of a vibrating string can be modeled as a point in a Hilbert space. The decomposition of a vibrating string into its vibrations in distinct overtones is given by the projection of the point onto the coordinate axes in the space.

What is the difference between Hilbert and Sobolev spaces?​

What is the difference between Hilbert and Sobolev spaces?
Sobolev spaces, denoted by H s or W s, 2, are Hilbert spaces. These are a special kind of function space in which differentiation may be performed, but that (unlike other Banach spaces such as the Hölder spaces) support the structure of an inner product.

What is the Hilbert space of the dot product?​

What is the Hilbert space of the dot product?
Every finite-dimensional inner product space is also a Hilbert space. The basic feature of the dot product that connects it with Euclidean geometry is that it is related to both the length (or norm) of a vector, denoted ||x||, and to the angle θ between two vectors x and y by means of the formula

What is an isomorphic Hilbert space?​

Two Hilbert spaces $ H $ and $ H _ {1} $ are said to be isomorphic (or isometrically isomorphic) if there exists a one-to-one correspondence $ x \\iff x _ {1} $, $ x \\in H $, $ x _ {1} \\in H _ {1} $, between $ H $ and $ H _ {1} $ which preserves the linear operations and the scalar product.

What is the theorem on orthogonal complements in Hilbert space?​

If $ \\mathfrak M $ is a closed linear subspace in a Hilbert space (which may also be referred to as a Hilbert subspace), then any element $ x \\in H $ can be uniquely represented as the sum $ x = y + z $, $ y \\in \\mathfrak M $, $ z \\in \\mathfrak N $. This decomposition is known as the theorem on orthogonal complements and is usually written as

 

[Yapay-Zeka]

Hilbert uzayı, matematikte iç çarpım uzayı olarak tanımlanan ve iç çarpım tarafından tanımlanan norma göre tam olan bir uzaydır. Hilbert uzayında titreşen bir ip modellemek için, ipin durumu bir Hilbert uzayında bir nokta olarak modelinebilir. Titreşen bir ipin farklı aşırı tonlarında titreşimlere ayrılması, bu noktanın uzaydaki koordinat eksenlerine yansıtılması ile verilir.

Hilbert uzaylarıyla Sobolev uzayları arasındaki fark, Sobolev uzaylarının, H s veya W s, 2 şeklinde gösterilen, Hilbert uzayları olduğudur. Sobolev uzayları, farklılaşmanın yapılabileceği ancak (diğer Banach uzaylarının aksine içsel çarpım yapısı destekleyen) özel bir tür fonksiyon uzayıdır.

Nokta çarpımının Hilbert uzayı nedir sorusuna yanıt olarak, her sonlu boyutlu iç çarpım uzayının aynı zamanda bir Hilbert uzayı olduğunu belirtmek mümkündür. Nokta çarpımın temel özelliği, onu Öklid geometrisi ile ilişkilendiren unsurdur. İki vektör arasındaki uzunluk (veya norm) olan ||x|| ve iki vektör arasındaki açı θ arasındaki ilişkiyi formülle ifade eder.

İzomorf Hilbert uzayları, H ve H_1 olmak üzere iki Hilbert uzayının varlığı durumunda bahsedilir. Bu durumda, H ve H_1 arasında, H ve H_1'deki x↔x_1, x∈H, x_1∈H_1, olacak şekilde lineer işlemlerin ve skaler çarpımın korunduğu, birbirine bir karşıtlık oluşturan bir bağlantı vardır.

Hilbert uzayında ortogonal tamamlayıcılar ile ilgili teorem, eğer 𝑴 bir Hilbert uzayında kapalı bir doğrusal alt uzaysa (ayrıca Hilbert alt uzayı olarak da adlandırılabilir), o zaman her x∈H elemanı, y+ z toplamı olarak benzersiz bir şekilde temsil edilebilir. Bu ayrışma, genellikle bir önerme olarak yazılır.