Sonsuz Sayı Hakkında Bilgi

[theking]

sonsuz büyük - sonsuz sayı var mıdır - sonsuz küçük - sonsuz sayı nasıl bulunur- sonsuz sayi kactır - sonsuz sayı nedir


Sonsuz kavramı (sembolü:∞), matematiksel işlemlerde sürekli artan veya sürekli azalan anlamlarında kullanılan bir sıfattır.
Eğer bir matematik işleminde sonsuz sonucuna ulaşılıyorsa, gerçek dünyada olmayan bir varsayım yapılmıştır. Bu gibi durumların aşılması için matematikçiler limit kavramını bulmuşlardır.
Sonsuz kavramı, matematikte farklı anlamlarda kullanılabilmektedir. Fakat, aritmetikte sonsuzu diğer sayıların arasına uygun bir şekilde yerleştirmek mümkün değildir. Dört işlem kuralları tüm sayılar için geçerli iken, sonsuz da işin içine girdiği zaman bu kurallar sağlanmamaktadır.

Sonsuz Sayısının Tarihi

Matematikte sonsuz kavramı 19. yy sonuna kadar tam olarak bilinmiyordu; bu kavramla ilgili büyük bir karışıklık söz konusuydu. Bu karışıklık, Georg Cantor tarafından ortaya koyulan kümeler kavramının gelişmesiyle birlikte matematikte ‘”sonsuz”un ne anlama gelmesi gerektiği anlaşıldı. Buna göre, bütün sayma sayılarının oluşturduğu küme ile çift sayılar kümesi eşit büyüklüktedir örneğinden yola çıkarak sonsuzluğun tanımı şu şekilde yapılmaktadır:Alt kümelerinden birine eşit olan bir küme sonsuzdur.
Sonsuz toplamlar

Sonsuz sayı toplandığında sonuç her zaman sonsuz bir sayı olmayabilir. Örneğin aşağıdaki örnekte, sonsuz toplam sonlu bir sayıdır. Bu işlem sonucunda π²/6 sayısına ulaşılmaktadır.

1/12 = 1
1/12 + 1/22 = 1.25
1/12 + 1/22 + 1/32 = 1.361111…
1/12 + 1/22 + 1/32 + 1/42 = 1.423611…
1/12 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + 1/52 = 1.463611…
1/12 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + 1/52 + 1/62 = 1.491389…
1/12 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + 1/52 + 1/62 + 1/72 = 1.511797…
1/12 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + 1/52 + 1/62 + 1/72 + 1/82 = 1.527422…
1/12 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + 1/52 + 1/62 + 1/72 + 1/82 + 1/92 = 1.539768…

Bu işlemlerin devamında aşağıdaki gibi sonuçlar elde edilecektir:

1/12 + 1/22 + 1/32 +…+ 1/1002 = 1,634984…
1/12 + 1/22 + 1/32 +…+ 1/2002 = 1,639947…
1/12 + 1/22 + 1/32 +…+ 1/3002 = 1,641606…
1/12 + 1/22 + 1/32 +…+ 1/10002 = 1,643935…
1/12 + 1/22 + 1/32 +…+ 1/20002 = 1,644432…
1/12 + 1/22 + 1/32 +…+ 1/30002 = 1,644595…
1/12 + 1/22 + 1/32 +…+ 1/40002 = 1,644714…
1/12 + 1/22 + 1/32 +…+ 1/50002 = 1,644725…

Buna göre, yukarıda da görüldüğü gibi işlemlerin sonucu sürekli artmaktadır ve 1.70 sayısında hiç ulaşılamayacak gibi bir izlenim oluşmaktadır. Bu işlemler sonsuza kadar sürdüğü zama işlem sonucu 1.70 olacaktır. Bu sonuca ulaşıldığını ispatlayan ünlü matematikçi Leonhard Euler’dir.
Sonsuz büyük ve sonsuz küçük

Bir x değişkeni mutlak değer bakımından istenildiği kadar büyük seçilen pozitif bir N sayısından daha büyük kalıyorsa, yani:
| x | > N ise x, sonsuza yaklaşıyor denilmektedir. Sonsuza yaklaşan bir değişken sonsuz büyük olarak isimlendirilir ve x→∞ şeklinde gösterilir.

Eğer bir x değişkeni, N > 0 olarak N < x eşitsizliğini sağlıyorsa (+∞)’a yaklaşıyor şeklinde ifade edilir. Eğer bir x değişkeni N > 0 olarakx < − N eşitsizliğini sağlıyorsa (-∞)’a yaklaşıyor şeklinde ifade edilir.

Eğer bir x değişkeni 0 limitine yaklaşıyorsa sonsuz küçük olarak nitelendirilir.



alıntı