Pascal Üçgeni ve Pascal Üçgeninin özellikleri

[theking]

Pascal üçgeni hakkında bilgi
Pascal üçgeni nedirBir kümenin alt kümelerinin sayısını gösteren “PASCAL” üçgenini oluşturalım.
Kümenin Eleman Sayısı:

s(A)=...........0 .1
s(A)=..........1 1.1
s(A)=.........2 .1.2.1
s(A)=........3 1.3.3.1
s(A)=.......41. 4.6.4.1
s(A)=......51. 5.1010.51 .

Üçgenin tepesinde 1 yazdık.Sonraki satırların ilk ve son sayılarını yine 1 aldık.Bir satırda ardışık iki sayının toplamını bu sayıların ortasına gelecek şekilde bir alt satıra yazdık.Bu işlemlere yukardan aşağı doğru devam ettik.
Örneğin; s(A)=4..... 1...4...6...4...1
s(A)=5.....1...5...10...10...5..1
Bu tablodaki sayıların ne ifade ettiğini gösterelim.
A={abc** kümesi 3 elemanlı olup bu kümenin alt kümelerini yazalım.
0 elemanlı alt kümesi{** 1 tane
1 elemanlı alt kümeleri{a**{b**{c** 3 tane
2 elemanlı alt kümeleri{ab**{ac**{bc**3 tane
3 elemanlı alt kümeleri{abc** 1 tane

s(A)=3 olan satırdaki sayılar olduğunu görünüz.O halde bu tablo bir kümenin 0 elemanlı 1 elemanlı 2 elemanlıalt kümelerinin sayısını gösterir.
Pascal Üçgenini biraz daha büyüterek aşağıdaki örnekleri inceleyelim.
*6 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı 15 tane alt kümesi vardır.(s(A)=6‘nın
satırındaki üçüncü sayı)
*5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı en az 3 elemanlı kaç tane alt kümesi olduğunu araştıralım:
3 elemanlı10(s(A)=5’in satırında 4. sayı)
4 elemanlı5(s(A)=5’in satırında 5. sayı)
*7 elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı kaç alt kümesi olduğunu araştıralım:
1.YOL: (21+35+21+7+1)=120
2.YOL: 2 7-(1+7)=128-8=120 (Neden?)

Binom Açılımı:
(a+b)n nin açılımında Pascal Üçgenindeki sayılar terimdeki katsayıları olur.a’nın kuvvetleri n den 0 a kadar azalarak b’nin kuvvetleri 0 dan n ye kadar artarak yazılır.


(a+b)5=?

Katsayılar 1 5 10 10 5 1
A nın kuvvetleri a5 a4 a3 a2 a 1
B nin kuvvetleri 1 b b2 b3 b4 b6

(a+b)5=1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5


*(5x-3y)2=?

Katsayılar 1 2 1
5x’in kuvvetleri 25x2 5x 1
-3y’nin kuvvetleri 1 -3y 9y2
(5x-3y)2= 25x2 -2.5x.3y +9y2= 25x2 –30xy +9y2

Yukarda ki örnekten de görülebileceği gibi negatif terimin tek kuvvetlerinin olduğu terimlerin işareti negatiftir.