Pascal Üçgeni ve Özellikleri

[theking]

Pascal Üçgeni:
Pascal üçgeni şekilde de görüldüğü gibi kenarlarda "1" olmak üzere her sayı üstündeki iki sayının toplamı olarak yazılacak şekilde oluşturulur.



Pascal üçgeninin bazı özellikleri:
• Kenarlar "1"den oluşur
• ikinci(kırmızı) sıra pozitif tamsayılar serisidir.
• Üçüncü(mavi) sıra üçgen sayılardır. (1 3 6 10 15...)
• Aynı yöndeki sayıların(sarı) toplamı seçtiğimiz son sayının ters yönündeki sayıya eşittir.
(Örnek: 1+2+3+4+5+6+7=28 1+4+10+20+35=70 gibi)
• Her sıradaki sayıların toplamı 'sıfır'dan başlamak üzere "2"nin üslerini verir. 20 21 22 23 24 ...
(Örnek: 5. sıradaki sayıların toplamı 1+4+6+4+1=16=24 )
• Her sıra yine 'sıfır'dan başlamak üzere kendi derecesinden bir polinomun katsayılarını verir.
( Örnek: (a+b)3=1a3+3ab2+3a2b+1b3)


2.Bir kaynak

Pascal üçgeni
n
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
↓
Pascal üçgenibinom açılımındaki katsayıları bulmaya yarar. Pascal'ın bu üçgeni olasılıklar kuramında da ustalıkla kullanılır. Bu üçgen biyolojideki uygulamalar matematik istatistik ve pek çok modern fizik konularında uygulama alanı bulunur. (Bazı kaynaklara göre eski Çinliler de üçgeni tanımışlar; bazılar Pascal üçgeni diye aslında bir Hayyam üçgenidir söylemişler.)
Olasılıklar kuramının çıkış nedeni Pascal'a kumarbaz Chevalier de Mere tarafından önerilmesiydi. En önemli görevi de elli iki kağıt oyunu oynuyordu. Bu ara tavla zarlarının şekilleri aynı olan ayrı renkli bilyelerin önemi büyüktür. Buna bağlı olarak ünlü Pascal üçgeni doğdu. Pascal'ın bu üçgeni daha sonraki yıllarda çok kullanıldı. Özellikle seri açılımları ve binom açılımı bu yöntemle kolaylıkla bulunur.

Formül=

Örneğin=