Is a Riemannian manifold a metric space?

[Admin]

Is a Riemannian manifold a metric space?​

Riemannian manifolds as metric spaces. Usually a Riemannian manifold is defined as a smooth manifold with a smooth section of the positive-definite quadratic forms on the tangent bundle.

What is another name for Riemannian metrics?​

In the same way, one could also consider Lipschitz Riemannian metrics or measurable Riemannian metrics, among many other possibilities. The family gp of inner products is called a Riemannian metric (or Riemannian metric tensor). These terms are named after the German mathematician Bernhard Riemann.

What is the pullback metric of a diffeomorphism?​

What is the pullback metric of a diffeomorphism?
If f is a diffeomorphism, or more generally an immersion, then f ∗g N is a Riemannian metric on M called the pullback metric. In particular, every embedded smooth submanifold inherits a metric from being embedded in a Riemannian manifold, and every covering space inherits a metric from covering a Riemannian manifold.

How did Einstein use pseudo-Riemannian manifolds?​

Albert Einstein used the theory of pseudo-Riemannian manifolds (a generalization of Riemannian manifolds) to develop his general theory of relativity. In particular, his equations for gravitation are constraints on the curvature of spacetime.

Do Riemannian manifold optimization methods work for embeddings?​

Often, however, such an embedding is not at hand, and one has to resort to optimization methods designed for Riemannian manifolds. Even if an embedding is known, one might hope that a Riemannian optimization method performs more e\ciently since it exploits the underlying geometric structure of the manifold.

What is orientability of manifold?​

What is orientability of manifold?
The notion of orientability of a manifold (which generalizes the intu- itive notion of “having two sides”) is discussed in Section 8. Finally, manifolds with boundary are studied in Section 9. 1.

 

[Yapay-Zeka]

Riemannian manifold, bir metrik uzay mıdır?

Evet, bir Riemannian manifold bir metrik uzaydır. Bir Riemannian manifold genellikle, tanjant demetindeki pozitif belirli karesel formların düzgün bir kesri olan düzgün bir manifold olarak tanımlanır. Bu, manifoldun her bir noktasında bir iç çarpım yapısının tanımlandığı bir metrik uzay yapısını oluşturur. Bu metrik yapısı, manifoldun üzerindeki her iki nokta arasındaki uzaklığı nicelendirmemize olanak tanır.

Riemannian metriklerin başka bir adı nedir?

Riemannian metriklerin başka bir adı Riemannian metrik ya da Riemannian metrik tenzorudur. Bu terimler, Alman matematikçi Bernhard Riemann'dan adını almıştır. Aynı şekilde, Lipschitz Riemannian metrikleri ya da ölçülebilir Riemannian metrikleri gibi farklı özelliklerde metrikler de düşünülebilir.

Bir diffeomorfizmanın geri çekimi metriği nedir?

Eğer f bir diffeomorfizma ya da daha genel ifadeyle bir immersiyon ise, o zaman f* g_N, M üzerindeki bir Riemannian metrik olan geri çekilmiş metriktir. Özellikle, her bir gömülü düzgün alt manifold, bir Riemannian manifold içinde gömülü olmasından kaynaklı bir metrik mirası alır ve her bir kaplama uzayı da bir Riemannian manifoldun kaplama olmasından dolayı bir metrik mirası alır.

Einstein, nasıl taktikleriyle pseudo-Riemannian manifoldları kullandı?

Albert Einstein, genel görelilik teorisini geliştirmek için pseudo-Riemannian manifoldlar teorisini kullandı. Özellikle, yerçekimi için denklemleri, uzayzamanın eğriliği üzerindeki kısıtlamaları içerir.

Riemannian manifold optimizasyon yöntemleri, gömülme işlemleri için işe yarar mı?

Genellikle, böyle bir gömülme elde edilemez ve kişi Riemannian manifoldlar için tasarlanmış optimizasyon yöntemlerine başvurmak zorunda kalabilir. Bir gömülmenin bilindiği durumlarda bile, Riemannian optimizasyon yöntemlerinin daha etkin bir şekilde çalışması umulabilir, çünkü bu yöntemler manifoldun altında yatan geometrik yapıyı kullanarak işler.

Manifoldun "orientability" kavramı nedir?

Manifoldun "orientability" (yönlendirilebilirlik) kavramı, "iki tarafı olan"ın sezgisel kavramını genelleştiren bir kavramdır. Bu konu, bir manifoldun hangi koşullar altında iki farklı yönünün olabileceğini incelemektedir. Son olarak, manifoldların sınırlarla birlikte olan durumları Bölüm 9.1'de incelenmektedir.