Bir Sayma Sayısının tamsayı Bölenleri konu anlatımı

[theking]

BİR SAYMA SAYISININ TAMSAYI BÖLENLERİ
Bir sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin sayısı:
Herhangi bir A sayma sayısının asal çarpanları a, b ve c olmak üzere,
A = am . bn . cp
şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış ise, A sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin sayısı,
( m + 1 ) . ( n + 1 ) . ( p + 1 )
dir. Bu sayıya, 1 ile sayının kendisi dahil edilmiştir.
Bir sayma sayısının tüm tamsayı bölenlerinin sayısı:
Herhangi bir A sayma sayısının asal çarpanları a, b ve c olmak üzere,
A = am . bn . cp
şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış ise, A sayma sayısının tüm tamsayı bölenlerinin sayısı,
2 . ( m + 1 ) . ( n + 1 ) . ( p + 1 )
dir. Yani, A sayma sayısının tüm tamsayı bölenlerinin sayısı, pozitif bölenlerinin sayısının 2 katıdır. Bu sayıya, 1 ile sayının kendisi dahil edilmiştir.
Bir sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin toplamı:
Herhangi bir A sayma sayısının asal çarpanları a, b ve c olmak üzere,
A = am . bn . cp
şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış ise, A sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin toplamı,

dir. Bu toplama, 1 ile sayının kendisi dahil edilmiştir. Bir sayma sayısının tüm tamsayı bölenlerinin toplamı ise, sıfırdır.
Bir sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin çarpımı:
Herhangi bir A sayma sayısının asal çarpanları a, b ve c olmak üzere,
A = am . bn . cp
şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış ise, A sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin çarpımı,

dir. Üssün, A nın pozitif tamsayı bölenlerinin sayısının yarısı olduğuna dikkat ediniz.
Örnek 1:
120 sayısının
a) Kaç tane pozitif böleni vardır?
b) Kaç tane tamsayı böleni vardır?
c) Pozitif bölenlerinin toplamı kaçtır?
d) Pozitif bölenlerinin çarpımı kaçtır?
Çözüm:
a) 120 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli
120 = 23 . 31. 51
olduğundan, pozitif bölenlerinin sayısı
( 3 + 1) . ( 1 + 1 ) . ( 1 + 1 ) = 4 . 2 . 2 = 16
dır.
b) 120 sayısının tüm bölenlerinin sayısı, pozitif bölenlerinin sayısının 2 katı olduğuna göre,
2 . 16 = 32
dir.
c) 120 sayısının pozitif bölenlerinin toplamı

dir.
d) 120 sayısının pozitif bölenlerinin çarpımı

dir.
Örnek 2:
500 . 5y sayısının asal olmayan 40 tane tamsayı böleni varsa, y kaçtır?
Çözüm:
500 . 5y = 22 . 53 . 5y
= 22 . 53 + y
2 tane asal böleni olduğundan, tüm bölenlerinin sayısı,
40 + 2 = 42
dir. Buradan, pozitif bölenlerinin sayısı, tüm bölenlerinin sayısının yarısı olduğundan,
21 = ( 2 + 1 ) . ( 3 + x + 1 )
21 = 3 . ( 4 + x )
21 = 12 + 3x
3x = 21 - 12
3x = 9
x = 3
olur.