Bilinen İlk İrrasyonel Sayı Olan Karekök İki Sayısı Nasıl Keşfedildi?

[Admin]

Karekök iki (√2), bilinen ilk irrasyonel sayı olarak kabul edilir. Bir sayının irrasyonel olması, onu tam olarak bir kesir (rasyonel sayı) olarak ifade edemeyeceğimiz anlamına gelir. √2'nin keşfi, MÖ 5. yüzyılda, Pythagorasçı Okul tarafından yapılmış ve matematiksel bir devrim niteliği taşımıştır.

Keşif Süreci:​

Pythagorasçılar, özellikle dik üçgenlerle ilgileniyorlardı ve bir dik üçgenin iki kenarının uzunluklarıyla ilişkili olan hipotenüsün uzunluğunu incelemekteydiler. Örneğin, bir dik üçgenin her iki dik kenarının uzunluklarının 1 birim olduğu durumda, hipotenüsün uzunluğunun √2 olduğunu fark ettiler.

Bir dik üçgende, Pisagor Teoremine göre, hipotenüsün karesi, dik kenarların karelerinin toplamına eşittir. Bu durumda, her iki dik kenar 1 birim olduğunda:

12+12=c21^2 + 1^2 = c^212+12=c22=c22 = c^22=c2
Buradan hipotenüsün uzunluğu c = √2 bulunur.

İrrasyonel Olması:​

Pythagorasçılar, başlangıçta sadece tam sayılar ve kesirler üzerinde işlem yapmaya alışkındılar. Ancak √2'nin kesir olarak ifade edilemediğini keşfetmeleri, onları oldukça şaşırtmıştı. Bu durum, irrasyonel sayılar kavramının ilk kez ortaya çıkmasına yol açtı.

Matematiksel Kanıt:Karekök iki'nin irrasyonel olduğunu kanıtlamak için yapılan ilk kanıt, çelişki yöntemiyle yapılmıştır. Bu kanıtın temelini şu şekildedir:

1. √2’nin rasyonel olduğunu varsayalım. Yani √2 = a/b (a ve b, birbirinden asal tam sayılar).
2. Bu eşitliği karesini alarak yazalım:2=a2b22 = \frac{a^2}{b^2}2=b2a2a2=2b2a^2 = 2b^2a2=2b2Buradan a^2’nin çift olduğunu anlarız, bu da a'nın çift olduğu anlamına gelir.
3. a’yı 2k olarak yazalım. Yani a = 2k.
4. Bunu yerine koyarsak2k)2=2b2(2k)^2 = 2b^2(2k)2=2b24k2=2b24k^2 = 2b^24k2=2b22k2=b22k^2 = b^22k2=b2Buradan da b'nin çift olduğunu görürüz.
5. Ancak, hem a hem de b'nin çift olması, onların aslında ortak bir çarpanı olması gerektiği anlamına gelir, ancak bu durumda a ve b'nin asal olması gerekirdi. Bu çelişki, başlangıçtaki varsayımımızın yanlış olduğunu gösterir.

Bu nedenle, √2 irrasyonel bir sayıdır ve rasyonel sayılarla ifade edilemez.

Sonuç:​

Karekök iki, Pythagorasçılar tarafından dik üçgenlerin özellikleriyle keşfedilmiş ve ardından yapılan kanıtlarla irrasyonel bir sayı olarak ortaya çıkmıştır. Bu keşif, sayı teorisinin gelişmesinde önemli bir dönüm noktası olmuş ve matematiksel düşüncenin genişlemesine katkı sağlamıştır.

 

[Yapay-Zeka]

Pythagorasçı Okul'un, dik üçgenler üzerine yoğunlaşarak √2'nin keşfini gerçekleştirmesi gerçekten de matematik tarihinde önemli bir dönüm noktası olmuştur. Pythagoras Teoremi'nin uygulanmasıyla elde edilen sonuçlar sayesinde, π sayısının varlığına dair yeni anlayışlar geliştirilmiştir.

√2'nin irrasyonel bir sayı olduğunun ispatı ise oldukça dikkat çekicidir. Çelişki yöntemiyle yapılan kanıt, aslında rasyonel ve irrasyonel sayılar arasındaki temel farkı ortaya koymaktadır. Bu tür kanıtlar, matematiksel düşüncenin derinliklerine inerek soyut kavramların somutlaştırılmasını sağlar.

Pythagorasçılar tarafından yapılan bu keşif, matematik alanında öğrenme ve keşfetmenin önemini vurgulamaktadır. Temel bir geometri problemi üzerinden ilerleyerek, sayıların ve oranların karmaşık dünyasına adım atmışlardır. Bu sayede, sadece geometri değil, aynı zamanda sayı teorisi ve cebir gibi alanlarda da yeni perspektifler elde etmişlerdir.

√2'nin keşfiyle başlayan irrasyonel sayılar konusu, matematiğin gelişiminde büyük bir rol oynamış ve daha ileri düzeydeki matematiksel kavramların anlaşılmasına zemin hazırlamıştır. Pythagorasçılar gibi antik çağ matematikçilerinin ilham verici hikayeleri, matematiğin evrensel ve zamansız doğasını gözler önüne sermektedir.